Skillnad mellan formler, ekvationer, exempel, övningar

De Kuberskillnad Det är ett binomialt algebraiskt uttryck för formen till³ - b³, Där termer A och B kan vara verkliga siffror eller algebraiska uttryck av olika typer. Ett exempel på kubskillnaden är: 8 - x³, Eftersom 8 kan skrivas som 2³.

Geometriskt kan vi tänka på en stor kub, från sida A, till vilken den lilla buben på sida B subtraheras, såsom illustreras i figur 1:

Figur 1. En skillnad av kuber. Källa: f. Zapata.

Volymen på den resulterande figuren är just en skillnad i kuber:

V = a³ - b³

För att hitta ett alternativt uttryck observeras att denna figur kan delas upp i tre prismor, som visas nedan:

figur 2. Skillnaden i kuber (vänster om jämlikhet) är lika med summan av partiella volymer (höger). Källa: f. Zapata.

Ett prisma har en volym som ges av produkten från sina tre dimensioner: bredd x hög x djup. På detta sätt är den resulterande volymen:

V = a³ - b³ = a².b + b³ + till.b²

Faktorn b Det är vanligt till höger. Dessutom uppfylls det i den figur som visas ovan särskilt att:

b = (a/2) ⇒ a = b + b

Därför kan det sägas att: b = a - b. Således:

till³ - b³ = B (a² + b² +till.b) = (a-b) (a² + till.b + b²)

Detta sätt att uttrycka skillnaden i kuber kommer att visa sig vara mycket användbar i många applikationer och skulle ha erhållits på samma sätt, även om den saknade kubsidan i hörnet skilde sig från B = A/2.

Observera att den andra parentesenDet ser mycket ut till den anmärkningsvärda produkten från summan, men den korsade termen multipliceras inte med 2. Läsaren kan utveckla höger sida för att verifiera att den är effektivt till³ - b³.

[TOC]

Kan tjäna dig: fyrkantig binomial

Exempel

Det finns flera kuber skillnader:

1 - m⁶

till⁶b³ - 8Z¹²och⁶

(1/125).x⁶ - 27.och⁹

Låt oss analice var och en av dem. I det första exemplet kan 1 skrivas som 1 = 1³ och termen m⁶ Det kvarstår: (m²)³. Båda termerna är perfekta kuber, därför är deras skillnad:

1 -m⁶ = 1³ - (m²)³

I det andra exemplet skrivs termerna om:

till⁶b³ = (a²b)³

8Z¹²och⁶ = 2³ (z⁴)³ (och²)³ = (2Z⁴och²)³

Skillnaden mellan dessa kuber är: (a²b)³ - (2Z⁴och²)³.

Slutligen är fraktionen (1/125) (1/5³), x⁶ = (x²)³, 27 = 3³ och och⁹ = (och³)³. Genom att ersätta allt detta i det ursprungliga uttrycket erhålls det:

(1/125).x⁶  - 27y⁹ = [(1/5) (x²)]]³ - (3y³)³

Faktorisering av en kuber skillnad

Faktum skillnaden i kuber förenklar många algebraiska operationer. För att göra detta räcker det att använda den formel som dras av tidigare:

Figur 3. Faktorisering av skillnaden i kuber och uttryck för en anmärkningsvärd kvot. Källa: f. Zapata.

Nu består proceduren för att tillämpa denna formel av tre steg:

- Först erhålls den kubiska roten till var och en av villkoren för skillnaden.

- Sedan byggs binomial och trinomial som visas på höger sida av formeln.

- Slutligen ersätts binomial och trinomial för att få den slutliga faktoriseringen.

Vi kommer att illustrera användningen av dessa steg med vart och ett av exemplen på skillnaden mellan kuber som föreslagits ovan och därmed erhålla dess faktoriserade motsvarighet.

Exempel 1

Faktivt uttryck 1 -M⁶   Efter de beskrivna stegen. Vi börjar med att skriva om uttrycket som 1 -m⁶ = 1³ - (m²)³ För att extrahera respektive kubiska rötter för varje term:

Sedan byggs binomial och trinomial:

Det kan tjäna dig: köteori: historia, modell, vad är det för och exempel för

A = 1

b = m²

Så:

A - b = 1 - m²

 (till² +till.b + b²) = 1² + 1.m² + (m²)² = 1 + m² + m⁴

 Slutligen ersätts den i formel a³ - b³ = (a-b) (a² +till.b + b²):

1 -m⁶ = (1 - m²) (1 + m² + m⁴)

Exempel 2

Faktorisera:

till⁶b³ -8Z¹²och⁶ = (a²b)³ - (2Z⁴och²)³

Eftersom det här är perfekta kuber är kubiska rötter omedelbara: a²B och 2Z⁴och², Därifrån följer det:

- Binomial: a²B - 2Z⁴och²

- Trinomial: (a²b)² + till²b. 2Z⁴och² + (till²B +2Z⁴och²)²

 Och nu byggs den önskade faktoriseringen:

till⁶b³ -8Z¹²och⁶ = (a²B - 2Z⁴och²). [(till²b)² + till²b. 2Z⁴och² + (till²B + 2Z⁴och²)²] =

= (a²B - 2Z⁴och²). [till⁴b² + 2: a²b.z⁴och² + (till²B + 2Z⁴och²)²]

I princip är faktoriseringen klar, men det är ofta nödvändigt att förenkla varje term. Sedan utvecklas den anmärkningsvärda produkten från en summa - som visas i slutet och lägger sedan till liknande termer. Kom ihåg att kvadratet för en summa är:

(x + y)² = x² + 2xy + och²

Den anmärkningsvärda rätten till höger utvecklas på detta sätt:

(till²B + 2Z⁴och²)² = a⁴b² + 4th²b.z⁴och² + 4Z⁸och⁴

 Ersätta den utveckling som erhållits i faktoriseringen av skillnaden i kuber:

till⁶b³ -8Z¹²och⁶ = (a²B - 2Z⁴och²). [till⁴b² + 2: a²b.z⁴och² + till⁴b² + 4th²b.z⁴och² + 4Z⁸och⁴] =

Slutligen, gruppera liknande termer och fakta de numeriska koefficienterna, som alla är par, erhålls det:

(till²B - 2Z⁴och²). [2: a⁴b² + Sjätte²b.z⁴och² + 4Z⁸och⁴] = 2 (a²B - 2Z⁴och²). [till⁴b² + 3: e²b.z⁴och² + 2Z⁸och⁴]

Exempel 3

Factorize (1/125).x⁶  - 27y⁹ Det är mycket enklare än det föregående fallet. Först identifieras ekvivalenterna av A och B:

A = (1/5) x²

B = 3y³

Sedan ersätts de direkt på formeln:

(1/125).x⁶  - 27y⁹ = [(1/5) x² - 3y³]. [(1/25) x⁴ + (3/5) x²och³ + 9y⁶]

Träning löst

Skillnaden i kuber har, som vi har sagt, en mängd tillämpningar i algebra. Låt oss titta på några:

Kan tjäna dig: 5 egenskaper hos det kartesiska planet

Övning 1

Lös följande ekvationer:

yxa⁵ - 125 x² = 0

b) 64 - 729 x³ = 0

Lösning till

Först är ekvationen faktor på detta sätt:

x² (x³ - 125) = 0

Eftersom 125 är en perfekt kub, är parentes skriven som en skillnad i kuber:

x² . (x³ - 5³) = 0

Den första lösningen är x = 0, men vi hittar mer om vi gör x³ - 5³ = 0, då:

x³ = 5³ → x = 5

Lösning B

Vänster sida av ekvationen skrivs om som 64 - 729 x³ = 4³ - (9x)³. Därför:

4³ - (9x)³ = 0

Eftersom exponenten är densamma:

9x = 4 → x = 9/4

Övning 2

Faktorisera uttryck:

(x + y)³ - (X - y)³

Lösning

Detta uttryck är en skillnad i kuber, om vi i faktoriseringsformeln märker att:

A = x+ och

b = x- y

Sedan byggs binomialen först:

a - b = x+ y - (x- y) = 2y

Och nu trinomialen:

till² + till.b + b² = (x+ y)² + (x + y) (x-y) + (x-y)²

Anmärkningsvärda produkter utvecklas:

(x+ y)² = x² + 2xy +och²

(x+y) (x-y) = x²- och²

(x- y)² = x² - 2xy +och²

Då måste du ersätta och minska liknande termer:

till² + till.b + b² = x² + 2xy +och²+ x²- och²+ x² - 2xy +och² = 3x² + och²

Faktorisering resulterar i:

(x + y)³ - (X - y)³ = 2y. (3x² + och²)

Referenser

1. Baldor, a. 1974. Algebra. Venezuelan kulturell redaktion.TILL.
2. CK-12 Foundation. Summa och skillnader i kuber. Återhämtat sig från: CK12.org.
3. Khan akademin. Kuber skillnadsfaktorisering. Återhämtad från: är.Khan akademin.org.
4. Matematik är rolig avancerad. Skillnad på två kuber. Återhämtat sig från: matematik.com
5. Unk. Faktorisering av en kuber skillnad. Hämtad från: DCB.Fi-c.Unk.mx.