Bijective Funktion Vad är, hur görs det, exempel, övningar

En Bijektivfunktion Det är en som uppfyller det dubbla villkoret att vara Injektion och överjektivt. Det vill säga att alla element i domänen har en enda bild i kodominiet, och i sin tur är kodominiet lika med funktionen (-området ( R_F ).

Det uppfylls när en biounivokal relation mellan elementen i domän och kodominium övervägs. Ett enkelt exempel är funktionen F: r → R definieras av linjen F (x) = x

Källa: Författare

Det observeras att för varje värde på domänen eller uppsättningen av avgång (båda termerna gäller lika) finns det en enda bild i kodominiet eller ankomstuppsättningen. Dessutom finns det inget element av kodominium som inte är bild.

Således F: r → R definieras av linjen F (x) = x är bijektivt

[TOC]

Hur är en bijjektiv funktion?

För att svara på detta är det nödvändigt att ha tydliga koncept relaterade till Injicering och Överjektivitet av en funktion, Förutom kriterierna för konditioneringsfunktioner för att anpassa dem till kraven.

Injicering av en funktion

En funktion är Injicering När vart och ett av elementen i dess domän är relaterade till ett enda element av kodominium. Ett element av kodominium kan bara vara en bild av ett enda element i domänen, på detta sätt kan inte värden på den beroende variabeln upprepas.

Att överväga Injicering Följande måste uppfyllas till en funktion:

∀ x₁  ≠ x₂   ⇒ F (x₁ ) ≠ f (x₂ )

Överjektivitet av en funktion

En funktion klassificeras som Överdragen, Om varje element i dess kodominium är en bild av minst ett domänelement.

Att överväga Överdragen Följande måste uppfyllas till en funktion:

Kan tjäna dig: ersättningsprovtagning

Vara F: D_F → C_F

∀ B ℮ C_F  OCH till ℮  D_F   / F (a) = b

Detta är det algebraiska sättet att fastställa att för varje "b" som tillhör c_F Det finns en "A" som tillhör D_F så att funktionen utvärderas i "A" är lika med "B". 

Funktionskonditionering

Ibland en funktion som inte är det Bijektiv-, kan genomgå viss konditionering. Dessa nya förhållanden kan förvandla det till en Bijektivfunktion. Alla typer av modifieringar av funktionen och kodominiet för funktionen är giltiga, där målet är att uppfylla injektiviteten och över -alcheivity -egenskaperna i motsvarande förhållande.

Exempel: Löst övningar

Övning 1

Vara funktionen F: r → R definieras av linjen F (x) = 5x +1

A: [alla riktiga siffror]

Det observeras att för alla domänvärden finns en bild i kodominiet. Den här bilden är unik, vilket gör F var en Injektionsfunktion. På samma sätt observerar vi att funktionens kodominium är lika med dess räckvidd. Därmed uppfylla villkoret för Överexakivitet.

Att vara injicerande och överjektiv på samma gång kan vi dra slutsatsen att

F: r → R definieras av linjen F (x) = 5x +1 är en Bijektivfunktion.

Detta gäller alla linjära funktioner (funktioner vars större grad av variabeln är en).

Övning 2

Vara funktionen F: r → R definieras av F (x) = 3x² - 2

När du ritar en horisontell linje observeras att grafen finns vid mer än ett tillfälle. På grund av detta F Det är inte injektion och därför kommer det inte att vara Bijektiv- Medan du definieras i R → R

På samma sätt finns det kodominiumvärden som inte är bilder av något domänelement. På grund av detta är funktionen inte överjektiv, vilket också förtjänar att konditionera ankomstuppsättningen.

Kan tjäna dig: Set Theory: Egenskaper, element, exempel, övningar

Funktionens domän och kodominium är konditionerad

                                               F: [0 , ∞] → [ - 2 , ∞ ]

Där det observeras att den nya domänen täcker värden från noll till positiv oändlighet. Undvika upprepning av värden som påverkar injektivitet.

Således har kodominiet modifierats, räknat från "-2" till den positiva oändligheten, vilket eliminerar från kodominiet de värden som inte motsvarar något domänelement

På detta sätt kan det säkerställas att F : [0 , ∞] → [ - 2 , ∞ ] definieras av F (x) = 3x² - 2

Det är bijektivt

Övning 3

Vara funktionen F: R → R definieras av F (x) = sin (x)

I intervallet [ -∞ , +∞ ] Sinusfunktionen varierar sina resultat mellan noll och en.

Källa: Författare.

Funktionen F Det motsvarar inte injektiviteten och överjektivitetskriterierna, eftersom de beroende variabla värden upprepas varje π -intervall. Dessutom villkoren för kodominiet utanför intervallet [-Eleven] De är inte bild av något domänelement.

När du studerar funktionsgrafiken F (x) = sin (x) intervall observeras när kurvens beteende uppfyller kriterierna för Bijektivitet. Som intervallet  D_F  = [  π/2,3π/2  ] För domän. OCH C_F  = [-1, 1] För kodominium.

Där funktionen varierar resultaten från 1 till -1, utan att upprepa något värde i den beroende variabeln. Och samtidigt är Co -Coominium lika med de värden som används av uttrycket Synd (x)

På detta sätt funktionen F: [  π/2,3π/2  ] → [-1, 1]  definieras av F (x) = sin (x). Det är bijektivt

Övning 4

Höja de nödvändiga villkoren för D_F och C_F. Så att uttrycket

Kan tjäna dig: provtagningsfel: formler och ekvationer, beräkning, exempel

F (x) = -x²  Vara biojektion.

Källa: Författare

Upprepningen av resultat observeras när variabeln tar motsatta värden:

F (2) = f (-2) = -4

F (3) = f (-3) = -9

F (4) = f (-4) = -16

Domänen är konditionerad och begränsar den till höger om den riktiga linjen.

D_F = [0 , +∞ ]

På samma sätt observeras att intervallet är intervallet [ -∞ , 0], som, genom att fungera som kodominium uppfyller villkoren för överjektivitet.

På detta sätt kan vi dra slutsatsen att

Uttrycket F: [0 , +∞ ] → [ -∞ , 0] definieras av F (x) = -x²   Det är bijektivt

Föreslagna övningar

Kontrollera om följande funktioner är bijektiv:

F: [0 , ∞) → R definieras av F (x) = 3 (x + 1)²  +2

F: [ 3π/2,5π/2  ] → R definieras av F (x) = 5ctg (x)

F: [ -π,π  ] → R definieras av F (x) = cos (x - 3)

F: r → R definieras av linjen F (x) = -5x + 4

Referenser

1. Introduktion till logik och kritiskt tänkande. Merrilee h. Lax. University of Pittsburgh
2. Problem i matematisk analys. Piotr Bilar, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Pol.
3. Delar av abstrakt analys. Mícheál O'Searcoid PhD. Institutionen för matematik. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Introduktion till logik och metodik för de deduktiva vetenskaperna. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
5. Matematiska analysprinciper. Enrique Linés Escardó. Redaktionella återkomster. Till 1991. Barcelona, ​​Spanien.