Klassisk sannolikhetsberäkning, exempel, lösta övningar

De Klassisk sannolikhet Det är ett särskilt fall av beräkningen av sannolikheten för en händelse. Det definieras som kvoten mellan händelserna gynnsamma för denna händelse och de totala möjliga händelserna, med förutsättning att var och en av dessa händelser är lika troliga. Klassisk sannolikhet kallas också en priori sannolikhet eller teoretisk sannolikhet.

Lusten att förutse saker är en del av människans natur hela tiden: vi frågar oss alla om det kommer att regna nästa dag eller om ett visst fotbollslag kommer att spela eller inte i första divisionen nästa säsong. Det finns arkeologiska bevis på att människor spelade spel cirka 40.000 år.

Definition av begreppet klassisk sannolikhet

Men den första boken om sannolikheterna beror på den holländska astronomen Christian Huygens som kallade den Resonemang relaterat till tärningsspelet. Som vi ser har den klassiska sannolikheten sitt ursprung i chanserna.

Tärningarna har en lång historia, det är en kubisk bit vars ansikten är numrerade med poäng från en till sex. Genom att bara lansera en ärlig tärning: vad är sannolikheten för att komma ut, säg, en fem?

Det är väldigt enkelt: det finns bara ett ansikte mellan 6 märkt med fem poäng, därför är sannolikheten P:

P = 1/6

[TOC]

Beräkning i klassisk sannolikhet

Detta sätt att beräkna sannolikheten för en händelse är en tillämpning av Laplace-regeln, som ursprungligen anges 1812 av den franska matematikern Pierre de Laplace (1749-1827).

Laplace -regel används i klassisk sannolikhet för att beräkna sannolikheten för en händelse. Källa: f. Zapata.

Vara en händelse som vi vill veta dess sannolikhet för förekomst p (a), då:

P (a) = antal fall som är gynnsamma för evenemanget A / antal möjliga fall

Resultatet av denna operation är alltid ett positivt tal mellan 0 och 1. Om en händelse har en sannolikhet för att inträffa betyder det att det inte kommer att hända.

Å andra sidan, om sannolikheten för händelse är lika med 1, betyder det att det kommer att hända i någon form och i alla fall, sannolikheten för att en händelse inträffar, tillagd med sannolikheten för att den inte händer, är lika med 1 :

Här har vi betecknat sannolikheten för att händelse A inte inträffar genom en bar på bokstäverna.

Kan tjäna dig: 10 typer av algoritmer och deras egenskaper

Uppenbarligen, i en laglig tärning, har någon av de 6 ansikten samma sannolikhet att lämna, därför måste sannolikheten för att få ett ansikte med 5 vara 1/6.

En viktig detalj är som följer: För att tillämpa Laplace -regeln måste antalet möjliga fall vara begränsade, det vill säga vi måste kunna berätta för dem och få ett naturligt antal.

I exemplet med tärningar finns det 6 möjliga fall och en enda gynnsam händelse. Uppsättningen av möjliga fall kallas provutrymmet.

När man tillämpar Laplace -regeln är det bekvämt att noggrant analysera provutrymmet, inklusive alla möjliga händelser, det vill säga det måste vara komplett och snyggt, så att inga händelser flyr för att redovisas.

Provutrymmet och händelserna

Provutrymmet betecknas vanligtvis av bokstaven S eller den grekiska bokstaven Ω (Capital Omega) och var ett koncept som Galileo introducerades.

En tärningsspelare frågade de kloka eftersom det är svårare att få en 9 som lanserade tre tärningar än en 10, sedan beräknade Galileo de möjliga sätten att få en 9. Slutligen beräknade han respektive sannolikhet och fann att i själva verket P (9) < P (10).

Provutrymme med få element

Om provutrymmet består av få element listas dessa som en uppsättning. Anta till exempel att du vill hitta sannolikheten att i en familj med två barn är båda av samma kön.

Vi kan tillämpa klassisk sannolikhet korrekt bestämma provutrymmet. Om m = kvinna och h = människan är barnens provutrymme:

S = (m, m), (h, h), (m, h), (h, m)

Varje element i provutrymmet är en händelse, till exempel händelsen (M, M) betyder att de två barnen i denna familj är kvinnor.

Att ha provutrymmet är det mycket enkelt att beräkna den begärda sannolikheten, eftersom det bara finns två gynnsamma fall mellan 4, så att båda barnen är av samma kön: (m, m) och (h, h) därför:

P (båda barnen av samma kön) = 2/4 = 0.5

Provutrymme med många element

När provutrymmet består av många element är det bättre att ge en allmän regel att hitta det. Till exempel, om T är ett teams livslängd är provutrymmet:

S = t∕t ≥ 0

Att den läser så här: "Alla värden på så att t är större än eller lika med 0". En händelse av detta utrymme kan vara att enheten har en livslängd på t = 2 år.

Kan tjäna dig: betyg av ett polynom: hur det bestäms, exempel och övningar

Exempel på klassisk sannolikhet

Den klassiska sannolikheten tillämpas under förutsättning att de två lokalerna som anges ovan är uppfyllda, det vill säga:

-Alla evenemang är lika troliga.

-Provutrymmet är begränsat.

Därför finns det situationer där klassisk sannolikhet inte kan tillämpas, till exempel när du vill förutse om ny behandling kommer att bota en viss sjukdom, eller sannolikheten för att en maskin producerar defekta föremål.

Å andra sidan kan det tillämpas framgångsrikt i följande fall:

Lansera

Klassisk sannolikhet uppstår från människors intresse för spel. Källa: Pixabay.

Som vi har sett är sannolikheten för att ett visst ansikte kommer ut lika med 1/6.

Ta ett brev från ett däck

Vi har ett 52 -kort däck på ett franskt däck, bestående av fyra pinnar: hjärtan, klöver, diamanter och picas. Så sannolikheten för att extrahera ett hjärta, att veta att det finns 13 kort från varje pinne är:

P (hjärta) = 13/52

Sjösättning

Det är ett typiskt exempel på klassisk sannolikhet, eftersom när du startar en valuta finns det alltid en sannolikhet som är lika med ½ för att få ansikte eller stämpel.

Extrahera färgbultar från en påse 

Inuti en påse kan det finnas färgade kulor, till exempel finns det röda kulor, en blå kulor och V gröna kulor. Sannolikheten för att extrahera en röd är:

P (r) = r / n

Löst övningar

- Övning 1

När en ärlig tärning lanseras. Beräkna följande sannolikheter:

a) Rita ett udda nummer.

b) Låt en 2 eller 5 komma ut.

c) nå ett värde mindre än 4.

d) få ett värde mindre än eller lika med 4.

e) nå ett annat värde på 3

Lösning till

Provutrymmet är S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, de udda värdena är 1, 3 och 5, därför av 6 möjliga fall finns det tre gynnsamma fall:

P (udda) = 3/6 = 1/2 = 0.5

Lösning B

Vi vill extrahera en 2 eller 5, det vill säga något av dessa fall är gynnsamma därför:

P (2 eller 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

Lösning C

I det här fallet finns det tre gynnsamma händelser: få 1, 2 eller 3:

P (mindre än 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Lösning D

Här är en ytterligare gynnsam händelse, eftersom de ber oss om de lägre eller lika värden som 4, sedan:

Kan tjäna dig: acutangle triangel

P (värde mindre än eller lika med 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Lösning E

En annan lansering av 3 betyder att något av de andra värdena kom ut:

- Övning 2

I en låda finns en blå, en grön boll, en röd, en gul och en svart. Vad är sannolikheten för att den är gul när du tar en boll stängd med ögonen?

Lösning

"E" -händelsen är att ta en boll ur lådan med slutna ögon (om det är gjort med öppna ögon är sannolikheten 1) och att detta är gult.

Det finns bara ett gynnsamt fall, eftersom det bara finns en gul boll. De möjliga fallen är 5, eftersom det finns 5 bollar i lådan.

Därför är sannolikheten för "E" -händelsen lika med P (E) = 1/5.

Som man kan se, om evenemanget ska ta ut en blå, grön, röd eller svart boll, kommer sannolikheten också att vara lika med 1/5. Därför är detta ett exempel på klassisk sannolikhet.

Observation

Om det hade funnits 2 gula bollar i lådan så skulle p (e) = 2/6 = 1/3, medan sannolikheten för att ta ut en blå, grön, röd eller svart boll skulle ha varit lika med 1/6.

Eftersom inte alla händelser har samma sannolikhet, så är detta inte ett exempel på klassisk sannolikhet.

- Övning 3

Vad är sannolikheten för att resultatet är lika med 5 genom att starta en tärning är lika med 5?

Lösning

En tärning har 6 ansikten, var och en med ett annat nummer (1,2,3,4,5,6). Därför finns det 6 möjliga fall och endast ett fall är gynnsamt.

Så sannolikheten att vid lansering av tärningarna erhålls 5 är lika med 1/6.

Återigen är sannolikheten för att få andra tärningsresultat också lika med 1/6.

- Övning 4

I ett klassrum finns det 8 pojkar och 8 flickor. Om läraren slumpmässigt väljer en elev i sitt vardagsrum, vad är sannolikheten för att den utvalda eleven är en tjej?

Lösning

"E" -händelsen är att välja en slumpmässig student. Totalt finns det 16 studenter, men eftersom du vill välja en tjej finns det åtta gynnsamma fall. Därför p (e) = 8/16 = 1/2.

Även i detta exempel är sannolikheten för att välja ett barn 8/16 = 1/2.

Det vill säga, det är så troligt att den utvalda studenten är en tjej som en pojke.

Referenser

1. Augusti, a. Sannolikhet. University of Puerto Rico. Återhämtat sig från: dokument.UPRB.Edu.
2. Galindo, E. 2011. Statistik: Metoder och tillämpningar. Redaktörer Procience.
3. Jiménez, r. 2010. Matematik II. 2: a. Utgåva. Prentice hall.
4. Triola, m. 2012. Grundstatistik. 11th. Utgåva. Addison Wesley.
5. Sangaku matematik. Laplace regel. Återhämtat sig från: Sangakoo.com.