Trigonometriska skäl till exempel, övningar och applikationer

De trigonometriska skäl De är kvoter eller skäl som kan göras med värdet på sidorna på en höger triangel. Dessa sidor är: två kategorier som bildar 90º med varandra och hypotenusen, som bildar den akuta vinkeln θ med en av kategorierna.

6 kvoter kan bildas. Deras namn och respektive förkortningar är:

• Brease (SEN)
• Coseno (cos)
• tangent (TG eller Tan)
• Cotangent (CTG eller Cotan)
• Secante (SEC) och
• skördare (harmoni)

Alla hänvisade till vinkel θ, som visas i följande figur:

Figur 1. De trigonometriska orsakerna till den akuta vinkeln θ. Källa: f. Zapata.

De grundläggande trigonometriska orsakerna till vinkel θ är sin θ, cos θ och solbränna θ, medan de återstående orsakerna kan uttryckas i termer av dessa tre. Från föregående bild kan du se det:

• Sec θ = 1/ cos θ
• skada θ = 1/ sin θ
• barnsäng θ = 1/tg θ

Storleken på triangelns sidor påverkar inte värdet på orsakerna, eftersom två trianglar vars vinklar mäter samma är liknande trianglar och respektive kvoter mellan sidorna har samma värde.

[TOC]

Exempel

Låt oss till exempel beräkna de trigonometriska orsakerna till vinkel θ i följande trianglar:

figur 2. Två liknande trianglar har samma trigonometriska skäl till sina vinklar. Källa: Stewart, J.Preccculment: Matematik för beräkning.

För den lilla triangeln har vi de tre grundläggande orsakerna till vinkeln θ:

synd θ = 3/5

cos θ = 4/5

TG θ = ¾

Och nu låt oss beräkna de tre grundläggande orsakerna till θ med den stora triangeln:

synd θ = 30/50 = 3/5

cos θ = 40/50 = 4/5

TG θ = 30/40 = ¾

En viktig detalj att tänka på är som följer: både sin θ och cos θ är mindre än 1, eftersom kategorierna alltid mäter mindre än hypotenusen. Verkligen:

synd θ = 3/5 = 0.6

cos θ = 4/5 = 0.8

Löst övningar

I följande övningar uppmanas att lösa rätt triangel, vilket innebär att hitta längden på dess tre sidor och måtten på dess inre vinklar, varav en alltid mäter 90º.

Kan tjäna dig: Första graden Ekvationer: Formel, hur man löser dem, exempel, övningar

Pythagoras teorem gäller för rektangel trianglar och är mycket användbar när två av sidorna är kända och de saknade måste bestämmas. Satsen säger:

Hypotenusa² = motsatt cateto² + intilliggande Cateto²

Vi kan verifiera Pythagoras teorem med den lilla triangeln i figur 2, vars ben är 3 och 4. Den ordning som kategorierna tas spelar ingen roll. Tillämpa det sats vi har:

Hypotenusa² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Därför är hypotenusen:

Hypotenus = √25 = 5

- Övning 1

Beräkna de trigonometriska orsakerna till vinklarna som visas i följande trianglar:

Figur 3.- Trianglar för året löst 1. Källa: Carena, M. 2019. Matematikhandbok för preuniversitet.

Lösning till

Denna triangel är densamma i figur 3, men de ber oss av de trigonometriska skälen för den andra akuta vinkeln, betecknad α. Uttalandet erbjuder inte värdet på hypotenusa, men genom tillämpning av Pythagoras teorem vet vi att det är värt 5.

Skälen kan beräknas direkt från definitionen, vara försiktig när du väljer benet som är motsatsen till vinkeln α för att beräkna SEN α. Låt oss se:

• Sin a = 4/5
• cos α = 3/5
• TG α = 4/3
• barnsäng α = ¾
• SEC α = 1/(3/5) = 5/3
• Skada α = 1/(4/5) = 5/4

Och som vi ser har värdena på trigonometriska skäl utbyts. Faktum är att a och θ är komplementära vinklar, vilket innebär att de lägger till 90º. I det här fallet uppfylls det att Sen α = cos θ och så vidare av andra skäl.

Lösning B

Låt oss beräkna hypotenusen av triangeln genom Pythagoras teorem:

Hypotenusa² = 20² + tjugoett² = 841

√841 = 29

Då är de 6 trigonometriska orsakerna till vinkel ß:

• Sen β = 20/29
• cos β = 21/29
• TG β = 20/21
• Barnsäng β = 21/20
• SEC β = 1/(21/29) = 29/21
• Skada β = 1/(20/29) = 20/29

Kan tjäna dig: kombinerade operationer

- Övning 2

a) Hitta värdet på x i figuren.

b) Beräkna omkretsen av de 3 trianglar som visas.

Figur 4. Trianglar för året löst 2. Källa: Stewart, J. Preccculment: Matematik för beräkning.

Lösning till

I figuren kan vi identifiera flera trianglar, i synnerhet rektangelstriangeln i vänster, som har en kategori lika med 85 och den akuta vinkeln 60º.

Figur 5. Triangeln till vänster.

Med informationen om denna triangel kan vi beräkna sida B. Det är inte den åtgärd som uttalandet frågar, men att veta dess värde är ett tidigare steg.

För att bestämma lämpligt skäl är TG 60 º = 85 /B, eftersom B är benet intill 60 ° och 85 är motsatsen till nämnda vinkel. Därför:

B = 85 / tg 60º = 85 / √3

När vi väl är kända B kommer vi att använda den stora och yttre rektangeln triangeln, som har en gemensam sida med den tidigare triangeln: den som mäter 85. Detta är kateto som motsätter sig vinkeln 30 °.

Figur 6. Den yttre triangeln, av vilken en del av basen redan är känd.

Därefter:

Cateto intill 30º = (85/√3) + x

Nu kan vi höja följande:

85 / [(85 / √3) + x] = TG 30º

Vad som finns i fyrkantiga parentes multiplicerar 30º TG:

85 = [(85/√3) + x]. TG 30º

Tillämpa den distribuerande egenskapen för multiplikation:

85 = TG 30º. (85/√3) + x. TG 30º

Därför:

x.TG 30º = 85 - TG 30º. (85/√3) = 85 [1 - TG 30º . (1/√3)] = 85 . (2/3) = 170/3

Ersätta Tg -värdet 30º = √3 / 3:

x = (170/3) ÷ (√3 / 3) = 98.femton

Lösning B

Den lilla triangelns omkrets

Vara h₁ Hypotenusen av denna triangel, som kan beräknas med Pythagoras teorem eller genom en trigonometrisk anledning, till exempel cos 60º:

cos 60 º = 85 / √3 / h₁→ H₁ = (85/√3) ÷ cos 60º = 98.1

För att hitta P, omkretsen av denna triangel, lägger vi helt enkelt till de tre sidorna:

Kan tjäna dig: Beskrivande statistik: Historia, egenskaper, exempel, begrepp

P = 85 + (85/√3) + 98.1 = 232.2

Den yttre triangelns omkrets

Vara h₂ till hypotenusen av den yttre triangeln:

Sen 30º = 85 ÷ h₂  

h₂ = 85 ÷ sin 30º = 170

För denna triangel är omkretsen:

P = 85 + [(85/√3) + 98.15] + 170 = 402.22

Omkretsen av den icke -rektangelstriangeln

Från denna triangel känner vi redan alla dess sidor:

P = x + h₁ + h₂ = 98.15 + 98.15 + 170 = 366.3

Tillämpningar av trigonometriska skäl

Trigonometriska skäl har många praktiska tillämpningar, till exempel kan höjder beräknas.

Anta att ett vattentorn är 325 meter från en byggnad. En observatör som ligger i ett fönster noterar att höjdvinkeln i tornets övre ände är 39 º, medan depressionsvinkeln som tornets bas ses är 25º. Underverk:

a) Vad är höjden på tornet?

b) hur mycket är fönstret?

Figur 7. Schema för att beräkna höjden på Vista Torre från en byggnad. Källa: Stewart, J. Preccculment: Matematik för beräkning.

Lösning till

Från Cateto mittemot 39 av den övre triangeln får vi en del av svaret:

Figur 8. Triangel för applikationsövning. Källa: f. Zapata.

h₁/325 = TG 39º → H₁ = 325 . TG 39º fot = 263.2 fot

På liknande sätt får vi resten av tornets höjd, kallad h₂ Från den nedre triangeln:

h₂/325 = TG 25º → H₂ = 325 . Tg 25º fot = 151.6 fot

Tornets totala höjd är h₁ + h₂ = 263.2 + 151.6 fot = 414.7 fot.

Lösning B

Fönstret är just i en höjd h₂ jord:

h₂ = 151.6 fot.

Referenser

1. Carena, m. 2019. Matematikhandbok för preuniversitet. National University of the Coast.
2. Hoffman, J. Urval av matematikfrågor. Volym 3.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik för beräkning. Femte. Utgåva. Cengage Learning.
5. Zill, D. 1984. Algebra och trigonometri. McGraw Hill.