System för ekvationer Lösningsmetoder, exempel, övningar

De ecuationssystem De består av två eller flera ekvationer med flera variabler som måste ha en gemensam lösning. De är ofta, för i praktiken finns det många situationer som beror på många faktorer, som är relaterade på flera sätt.

I allmänhet har ett system med ekvationer följande form, där varje funktion representerar ett av villkoren som lösningen måste uppfylla:

Figur 1. Ett system med ekvationer består av M -funktioner och n okända. Källa: f. Zapata.

Låt oss titta på ett exempel: Anta att du måste tillverka rektangulära pappersark vars område är 180 cm² och ha en omkrets på 54 cm. Vad ska vara dimensionerna på arket?

För att svara på frågan tar vi hänsyn till att dimensionerna på ett rektangulärt ark är två: breda och höga. Detta innebär att vi har två variabler som vi kommer att ge de vanliga namnen på x och och.

Och dessa variabler måste uppfylla de två villkoren som införts samtidigt:

-Första tillstånd: Laminaområdet är 180 cm². Detta kommer att vara den första funktionen: f₁.

-Andra villkor: arkens omkrets eller kontur måste vara 54 cm. Detta är den andra F -funktionen₂.

För varje tillstånd upprättas en ekvation med algebraiskt språk. Område A i ett rektangulärt ark erhålls genom att multiplicera bredt:

A = x.y = 180 cm²

Och omkrets P -resultat från att lägga till sidorna. Eftersom omkretsen är summan av sidorna:

P = 2x + 2y = 54 cm

Systemet som härrör från två ekvationer och två okända är:

Xy = 180

2 (x + y) = 54

Vi behöver två nummer vars produkt är 180 och att den dubbla produkten av summan är 54, eller vad som är densamma: Tillagd måste ge 27. Dessa siffror är 12 och 15.

I avsnittet Löst övningar kommer vi att erbjuda den detaljerade metoden för att hitta dessa värden, under tiden kan läsaren enkelt verifiera ersättning, vilket effektivt uppfyller båda ekvationerna.

[TOC]

Exempel på applikationer av ekvationerssystem

Situationen som föreslås ovan innehåller 2 variabler, och minst 2 ekvationer krävs för att hitta dem. Det finns system med många fler variabler, men i alla fall, om systemet har n Av dessa krävs åtminstone n oberoende ekvationer (man kan inte vara en linjär kombination av de andra) för att hitta lösningen, om den finns.

Kan tjäna dig: rep (geometri): längd, sats och övningar

När det gäller applikationer är de många. Här är några där ekvationssystem visar deras användbarhet:

-Hitta de strömmar som cirkulerar genom en krets med hjälp av Kirchoffs lagar.

-I land och lufttransport för att etablera utgångs- och ankomstplanerna.

-Hitta storleken på krafter i dynamiska eller statiska system som är föremål för flera interaktioner.

-Att veta mängden föremål som sålts under en viss tid eller i fabrikerna, för att bestämma dimensionerna på objekt för att tillfredsställa vissa förhållanden när det gäller yta eller volym.

-När man bestämmer hur man distribuerar ett kapital i flera investeringar.

-Upprätta priser för olika tjänster, till exempel telekommunikation eller utställningar och vet hur mycket pengar som samlas in (se exempel Löst 2)

Ekvationssystemlösningsmetoder

Metod av ersättning

-En ekvation väljs och en av variablerna rensas.

-Då måste du ersätta den tydliga variabeln i en annan ekvation. Då försvinner denna variabel därifrån och om systemet har två ekvationer och två okända, finns det en ekvation med en variabel som redan kan vara tydlig.

-Om systemet har mer än två variabler måste du rensa en tredje okänd från en annan ekvation och ersätta det också.

Ett exempel på tillämpning av denna metod är under året löst 1.

Metod för minskning eller eliminering

Denna metod består i att lägga till eller subtrahera ekvationer för att eliminera en eller flera variabler och lämna en singel. För att göra detta är det bekvämt att multiplicera ekvationerna med en sådan faktor att genom att lägga till en annan ekvation försvinner det okända. Låt oss titta på ett exempel:

3x² - och² = 11

Kan tjäna dig: centrala tendensåtgärder för grupperade data: formler, övningar

x² + 4y² = 8

Vi multiplicerar den första ekvationen med 4:

12x² - 4y² = 44

x² + 4y² = 8

Genom att lägga till dem försvinner det okända och, Vistelse:

13x² = 52

x² = 4

Därför x₁ = 2 och x₂ = -2. Med dessa värden kan läsaren verifiera det och₁ = 1 och₂ = -1

Utjämningsmetod

När systemet är två ekvationer med två okända:

-En okänd väljs och rensas av båda ekvationerna.

-Resultaten utjämnas, vilket gör det möjligt att få en enda ekvation med en enda okänd.

-Denna ekvation löses och resultatet ersätts i en av de tidigare rensningarna för att få värdet på den andra okända.

Denna metod kommer att tillämpas under året Löst 2 av följande avsnitt.

Grafisk metod

Denna metod består av att grafera de kurvor som varje ekvation representerar. Korsningspunkten är systemlösningen. Följande exempel visar systemets grafiska lösning:

x² + och ² = 1

2x + 4y = 0

figur 2. Den grafiska lösningen i samtidiga ekvationssystemet är att hitta skärningspunkten mellan kurvorna. Källa: Wikimedia Commons.

Den första av ekvationerna är en cirkel av radie 1 fokuserad på ursprunget och den andra är en linje.

Korsningen mellan båda är de två punkterna som visas i blått. Läsaren kan verifiera att genom att ersätta koordinaterna för punkterna i ekvationerna ovan erhålls en jämlikhet.

Övningar

- Motion Löst 1

Du måste tillverka rektangulära ark med 180 cm område² och med 54 cm omkrets. Vad ska vara dimensionerna på arket?

Lösning

Systemet som ska lösas är:

Xy = 180

2 (x + y) = 54

Den andra ekvationen kan förenklas till x + y = 27, därför:

Xy = 180

x + y = 27

En av de okända av den andra ekvationen rensas:

y = 27 - x

Avståndet ersätts i det första:

(27 -x) = 180

Tillämpa distributionsfastigheter:

-x² + 27x = 180

Multiplicera med (-1) på båda sidor av ekvationen och skicka 180 till vänster:

x² - 27x +180 = 0

Det är en andra gradsekvation i X, som löses av formeln:

Det kan tjäna dig: motsatta vinklar av toppunktet (med en löst övning)

Med a = 1, b = -27 och c = 180

 Lösningarna är: x₁ = 15 cm och x₂ = 12, därför är dimensionerna och₁ = 12 cm och och och₂ = 15 cm.

- Motion Löst 2

En nöjespark har följande priser per ingång: Barn 1.5 och vuxna $ 4. På en dag fanns det 2200 besökare som samlade in $ 5050. Hitta antalet barn och vuxna som besökte parken den dagen.

Figur 3. Ekvationernas system tjänar till att bryta ner samlingen av nöjesparken på en dag. Källa: Pixabay.

Lösning

Vara x Antalet barn och och Antalet vuxna. Vi kan fastställa den första av ekvationerna med att veta att summan av båda måste vara 2200:

x + y = 2200.

Nu går vi med de insamlade pengarna. Biljettpriset för barn är 1.5 $ för varje barn, genom att multiplicera detta värde med X, antalet barn, kommer vi att ha beloppet för barnsinträde:

1.5x = pengar som samlas in av barnbiljetter

Och om vi multiplicerar $ 4 per vuxen för mängden och vuxna besökare, erhålls de totala pengarna av alla vuxna:

4y = pengar som samlas in av vuxna biljetter

Vi lägger till detta för att få $ 5050:

1.5x + 4y = 5050

Vårt ekvationssystem är:

x + y = 2200

1.5x + 4y = 5050

Låt oss lösa det genom utjämning. Vi rensar variabeln och den första och den andra ekvationen:

y = 2200 - x

y = (5050 - 1.5 x) /4

Vi är lika med båda uttryck:

2200 - x = (5050 - 1.5x) /4

Vi multiplicerar allt med 4 för att eliminera fraktionen:

8800 - 4x = 5050 - 1.5x

Vi grupperar termerna med X till vänster och de rena siffrorna till höger:

-4x + 1.5x = 5050 - 8800

-2.5x = -3750

x = 1500 barn.

Vi ersätter detta värde vid y = 2200 - x för att veta antalet vuxna:

y = 2200 - 1500 = 700 vuxna.

Referenser

1. Ck-12. System för ekvationer och ojämlikheter. Återhämtat sig från: CK12.org.
2. Hoffman, J. Urval av matematikfrågor. Volym 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik för beräkning. Femte. Utgåva. Cengage Learning.
5. Zill, D. 1984. Algebra och trigonometri. McGraw Hill.