Räkntekniker, applikationer, exempel, övningar

De räkningstekniker De är en serie sannolikhetsmetoder för att räkna det möjliga antalet arrangemang inom en uppsättning eller flera uppsättningar av objekt. Dessa används när konton manuellt blir komplicerade på grund av det stora antalet objekt och/eller variabler.

Till exempel är lösningen på detta problem mycket enkel: Föreställ dig att din chef ber dig räkna de senaste produkterna som har kommit under den senaste timmen. I det här fallet kunde du gå och räkna produkterna en efter en.

Föreställ dig dock att problemet är detta: Din chef ber dig räkna hur många grupper av 5 produkter av samma typ som kan bildas med dem som har kommit den sista timmen. I detta fall är beräkningen komplicerad. För dessa typer av situationer används så kallade räkningstekniker.  

Dessa tekniker är flera, men de viktigaste är uppdelade i två grundläggande principer, som är multiplikativa och tillsatser; permutationer och kombinationer.

[TOC]

Multiplikativ princip

Ansökningar

Den multiplikativa principen, tillsammans med tillsatsen, är grundläggande för att förstå driften av räkningstekniker. När det gäller multiplikativet består det av följande:

Föreställ dig en aktivitet som innebär ett specifikt antal steg (det totala vi markerar det som "R"), där det första steget kan göras i N1 -former, det andra steget i N2 och steget "R" för NR -former. I detta fall kan aktiviteten göras i antalet former till följd av denna operation: n1 x n2 x .. .X NR -formulär

Det är därför denna princip kallas multiplikativ och innebär att var och en av de steg som behövs för att utföra aktiviteten måste genomföras efter den andra. 

Exempel

Låt oss föreställa oss en person som vill bygga en skola. För att göra detta, tänk på att byggnadens bas kan byggas på två olika sätt, cement eller betong. När det gäller väggarna kan de vara adobe, cement eller tegel.

När det gäller taket kan detta byggas av cement eller galvaniserat ark. Slutligen kan slutmålning bara göras på ett sätt. Frågan som uppstår är som följer: hur många sätt har skolan?

Först överväger vi antalet steg, som skulle vara basen, väggarna, taket och målningen. Totalt 4 steg, så r = 4.

Kan tjäna dig: rollroll

Följande skulle vara att lista N:

N1 = sätt att bygga basen = 2

N2 = sätt att bygga väggarna = 3

N3 = sätt att göra taket = 2

N4 = sätt att utföra färg = 1

Därför skulle antalet möjliga sätt beräknas med formeln som beskrivs ovan:

N1 x n2 x n3 x n4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 sätt att utföra skolan.

Tillsatsprincip

Ansökningar

Denna princip är mycket enkel, och det är så att i fallet med flera alternativ för att utföra samma aktivitet, de möjliga sätten består av summan av de olika möjliga sätten att utföra alla alternativ.

Med andra ord, om vi vill utföra en aktivitet med tre alternativ, där det första alternativet kan göras i M -former, det andra av N -former och de sista W -formerna, kan aktiviteten göras av: M + N + ... + W -formulär.

Exempel

Föreställ dig den här gången en person som vill köpa en tennisracket. För att göra detta har du tre märken att välja mellan: Wilson, Babolat eller Head.

När han går till butiken ser han att Wilson Racket kan köpas med handtaget i två olika storlekar, L2 eller L3 i fyra olika modeller och kan vara bundna eller utan broschyr.

Babolat -racketen har å andra sidan tre mango (L1, L2 och L3), det finns två olika modeller och kan också vara bundna eller utan broderande.

Huvudracketen är under tiden endast med en mango, L2, i två olika modeller och endast utan broderande. Frågan är: hur många sätt måste den här personen köpa sin racket?

M = antal sätt att välja en Wilson -racket

N = Antal sätt att välja en Babolat -racket

W = antal sätt att välja ett huvudställ

Vi utför multiplikatorprincipen:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formulär

N = 3 x 2 x 2 = 12 former

W = 1 x 2 x 1 = 2 Formulär

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 sätt att välja en racket.

Att veta när den multiplikativa principen och tillsatsen måste.

Permutationer

Ansökningar

För att förstå vad en permutation är är det viktigt att förklara vad en kombination är att kunna differentiera dem och veta när de ska använda dem.

En kombination skulle vara ett arrangemang av element där vi inte är intresserade av den position som var och en av dem upptar.

En permutation, å andra sidan, skulle vara ett arrangemang av element där vi är intresserade av den position som var och en av dem upptar.

Kan tjäna dig: 7 indikatorer på ekonomisk tillväxt och dess egenskaper

Låt oss ge ett exempel för att bättre förstå skillnaden.

Exempel

Föreställ dig en klass med 35 elever och med följande situationer:

1. Läraren vill att tre av sina elever ska hjälpa honom att hålla klassen ren eller leverera material till de andra eleverna när han behöver det.
2. Läraren vill utse klassdelegater (en president, en assistent och en ekonomisk).

Lösningen skulle vara följande:

1. Föreställ dig att Juan, María och Lucía väljs genom att rengöra klassen eller leverera materialen. Uppenbarligen kunde andra grupper om tre personer ha bildats, bland de 35 möjliga studenterna.

Vi måste fråga oss själva följande: Är ordningen eller positionen ockuperad av var och en av eleverna som är viktiga när vi väljer dem?

Om vi ​​tänker på det ser vi att det verkligen inte är viktigt, eftersom gruppen kommer att ta hand om de två arbetet lika. I det här fallet är det en kombination, eftersom vi inte är intresserade av elementens position.

2. Låt oss nu föreställa oss att Juan väljs till president, Maria som assistent och Lucia som ekonomisk.

I det här fallet skulle beställningen göra något? Svaret är ja, eftersom om vi ändrar elementen, ändra resultatet. Det vill säga, om vi istället för att sätta Juan som president, satte honom som assistent, och Maria som president, skulle det slutliga resultatet förändras. I det här fallet är det en permutation.

När skillnaden förstås kommer vi att få formlerna för permutationerna och kombinationerna. Men innan du måste definiera termen “n!”(ENE Factorial), som det kommer att användas i de olika formlerna.

n!= till produkten från 1 till n.

n!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Använda det med verkliga siffror:

10!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628 800

 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Permutationsformeln skulle vara följande:

Npr = n!/(N-r)!

Med det kan vi ta reda på de arrangemang där ordningen är viktig och där elementen är olika.

Kombinationer

Ansökningar

Som vi har nämnt ovan är kombinationerna de arrangemang där vi inte bryr oss om elementens position.

Dess formel är som följer:

Ncr = n!/(N-r)!r!

Exempel

Om det finns 14 elever som vill vara frivilliga för att städa klassrummet, hur många rengöringsgrupper som kan bildas om varje grupp måste vara 5 personer?

Lösningen skulle därför vara följande:

N = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= 2002 grupper

Kan tjäna dig: byggnader eller byggnadskonto: vad är exempel

Löst övningar

Övning 1

Källa: Pixabay.com

Natalia får i uppdrag av sin mamma att gå till en matsbutik och köpa en läsk för att svalna. När Natalia frågar den beroende drickningen berättar han för honom att det finns fyra smaker av läsk, tre typer och tre storlekar.

Smakerna av läskedryck kan vara: svans, citron, apelsin och mynta.

Typer av läsk med svans kan vara: normal, utan socker, utan koffein.

Storleken kan vara: små, medelstora och stora.

Natalias mamma specificerade inte vilken typ av läsk ville hur många sätt Natalia har att köpa drinken?

Lösning

M = storlek och typnummer du kan välja när du väljer svans soda.

N = storlek och typnummer du kan välja när du väljer citron soda.

W = storlek och typnummer du kan välja när du väljer den orange soda.

Y = storlek och typnummer du kan välja när du väljer mynta soda.

Vi utför multiplikatorprincipen:

M = 3 × 3 = 9 formulär

N = 3 × 3 = 9 formulär

W = 3 × 3 = 9 formulär

Y = 3 × 3 = 9 formulär

 M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 sätt att välja soda.

Övning 2

Källa: Pixabay.com

En Sports Club tillkännager workshops för gratis åtkomst så att barn lär sig åka skridskor. 20 barn är registrerade, så två grupper om tio personer bestämmer sig för att dela så att instruktörerna kan ge klasserna mer bekväma.

I sin tur bestämmer de sig för att övervinna vilken grupp varje barn kommer att falla. I hur många olika grupper ett barn kunde komma in.

Lösning

I detta fall är sättet att hitta ett svar genom kombinationstekniken, vars formel var: ncr = n!/(N-r)!r!

n = 20 (antal barn)

  R = 10 (gruppstorlek)

20C10 = 20! / (20 - 10)!10! = 20! / 10!10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10!/ 10!10!= 184.756 grupper.

Referenser

1. Jeffrey, r.C., Sannolikhet och konst av dom, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, ”En introduktion till sannolikhetsteori och dess tillämpningar“, (Vol 1), 3: e ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logiska grunder och mätning av subjektiv sannolikhet". Psykologisk handling.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduktion till matematisk statistik (6: e upplagan.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Vetenskapen om antagande: bevis och sannolikhet före Pascal,Johns Hopkins University Press.