Karakteristiska primtal, exempel, övningar

De primtal, Även kallade absoluta kusiner, är de naturliga siffrorna som bara är delbara med varandra och 1. I denna kategori finns siffror som: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 och många fler i denna kategori.

Å andra sidan är ett sammansatt nummer delbart av sig själv, med 1 och minst ett nummer till. Vi har till exempel 12, som är delbar med 1, 2, 4, 6 och 12. Som konvention ingår inte 1 i listan över primtal eller i föreningarna.

Figur 1. Några primtal. Källa: Wikimedia Commons.

Kunskapen om primtalen är från avlägsna tider; De forntida egyptierna hanterade redan dem och var säkert kända långt innan.

Dessa siffror är mycket viktiga, eftersom alla naturliga antal kan representeras av produkten av primtal, som är denna unika representation, utom i ordningen av faktorerna.

Detta faktum är fullt etablerat i ett teorem som heter Aritmetiska grundläggande teorem, som säger att siffrorna som inte är kusiner nödvändigtvis består av siffror som är.

[TOC]

Egenskaper för primtal

Under huvudnumren för huvudsakliga egenskaper:

-De är oändliga, eftersom hur stort ett primtal alltid kan hittas.

-Om ett prime -nummer p delar inte exakt till ett annat nummer till, Det sägs då det p och till De är kusiner med varandra. När detta händer är den enda vanliga divisorn båda 1.

Det är inte nödvändigt att till Vara absolut kusin. Till exempel är 5 kusin, och även om de 12 inte är, är båda siffrorna kusiner med varandra, eftersom de två har en gemensam delare till 1.

-När ett primtal p Dela upp en kraft av numret n, Det delar också en n. Tänk på 100, som är en kraft på 10, särskilt 10². Det händer att de två delar både 100 och 10.

-Alla primtal är udda förutom 2, därför är deras sista siffra 1, 3, 7 eller 9. 5 ingår inte, för även om det är udda och kusin är det aldrig den sista siffran för ett annat primtal. I själva verket är alla siffror som slutar i 5 multiplar av detta och är därför inte kusiner.

Kan tjäna dig: Central Symmetry: Egenskaper, exempel och övningar

-Ja p Det är kusin och delare av produkten av två nummer till.b, så p Dela en av dem. Exempelvis delar Prime nummer 3 produkten 9 x 11 = 99, eftersom 3 är en divisor på 9.

Hur man vet om ett nummer är kusin

De Primalitet Det är namnet som ges till kvaliteten på att vara kusin. Tja, fransk matematisk Fermats lilla teorem, Det säger så:

"Med tanke på ett naturligt antal kusin p och alla naturliga antal till större än 0, det uppfylls det till^p - till Det är en multipel av p, så länge som p vara kusin ".

Vi kan bekräfta detta med små antal, till exempel antar P = 4, att vi redan vet att det inte är kusin och A = 6:

6⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Numret 1290 är inte exakt delbar mellan 4, därför är 4 inte ett primtal.

Låt oss göra testet nu med P = 5, som är kusin och A = 6:

6⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 är delbar mellan 5, eftersom alla nummer som slutar vid 0 eller 5 är. I själva verket 7760/5 = 1554. När Fermats lilla teorem är uppfyllt kan vi se till att 5 är ett primtal.

Testet genom teoremet är effektivt och direkt med små antal, där operationen är lätt att utföra, men vad vi ska göra om de ber oss ta reda på primaliteten i ett stort antal?

I så fall delas antalet successivt mellan alla mindre primtal, tills någon exakt uppdelning eller att kvoten är mindre än divisorn.

Om någon uppdelning är exakt, betyder det att antalet är sammansatt och om kvoten är mindre än divisorn, betyder det att antalet är kusin. Vi kommer att genomföra det under året löst 2.

Sätt att hitta ett primtal

Det finns oändliga primtal och det finns ingen unik formel för att bestämma dem. Men observera några primtal som dessa:

Kan tjäna dig: nollvinkel: definition och egenskaper, exempel, övningar

3, 7, 31, 127 ..

Det observeras att de är i form 2ⁿ - 1, med n = 2, 3, 5, 7, 9 ... Vi försäkrar dig:

2² - 1 = 4 - 1 = 3; 2³ - 1 = 8 - 1 = 7; 2⁵ - 1 = 32 - 1 = 31; 2⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Men vi kan inte försäkra att i allmänhet 2ⁿ - 1 vara kusin, för det finns några värden på n för vilket det inte fungerar, till exempel på 4:

2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

Och nummer 15 är inte kusin, eftersom den slutar i 5. Ett av de största primtalen som är kända, som hittas med datorberäkningar, är emellertid i form 2ⁿ - 1 med:

N = 57.885.161

De Mersenne -formel försäkrar oss att 2^p - 1 är alltid kusin, så länge som p Vara kusin också. Till exempel är 31 kusin, så det är säkert att 2³¹ - 1 Det är också:

2³¹ - 1 = 2.147.483.647

Formeln tillåter emellertid att endast vissa primtal bestämmas, inte alla.

Eulers formel

Följande polynom gör det möjligt att hitta primtal så länge N är mellan 0 och 39:

P (n) = n² + N + 41

Senare, i avsnittet Löst övningar finns ett exempel på dess användning.

Eratostenes screening

Eratóstenes var en kroppsbyggnad och matematisk av forntida Grekland som levde under det tredje århundradet för.C. Han utformade en grafisk metod för att hitta de prime -siffror som vi kan genomföra med små nummer, det kallas Eratóstenes -skärmen (en skärm är som en sil).

-Siffrorna placeras i en tabell som den som visas i animationen.

-Då är de jämna siffrorna märkta, utom de 2 som vi vet är kusin. Alla andra är multiplar av detta och därför är de inte kusiner.

-Multiplarna 3, 5, 7 och 11 är också markerade, exklusive dem alla eftersom vi vet att de är kusiner.

-Multiplarna på 4, 6, 8, 9 och 10 är redan markerade, eftersom de är föreningar och därför multiplar av någon av de angivna kusinerna.

Kan tjäna dig: historia av trigonometri från dess ursprung

-Slutligen är de återstående siffrorna omärkta kusiner.

figur 2. Eratostenes screening animation. Källa: Wikimedia Commons.

Övningar

- Övning 1

Med hjälp av Euler -polynomet för primtal, hitta 3 nummer större än 100.

Lösning

Detta är polynomet som Euler föreslog att hitta primtal, som fungerar för n värden mellan 0 och 39.

P (n) = n² + N + 41

Genom Tanteo väljer vi ett värde på n, till exempel n = 8:

P (8) = 8² + 8 + 41 = 113

Eftersom n = 8 producerar ett primtal större än 100, utvärderar vi polynomet för n = 9 och n = 10:

P (9) = 9² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10² + 10 + 41 = 151

- Övning 2

Ta reda på om följande nummer är kusiner:

a) 13

b) 191

Lösning till

De 13 är tillräckligt liten för att använda Fermats lilla teorem och hjälp av kalkylatorn.

Vi använder a = 2 så att siffrorna inte är för stora, även om de också kan användas a = 3, 4 eller 5:

2¹³ - 2 = 8190

8190 är delbar mellan 2, eftersom det är jämnt, därför är 13 kusin. Läsaren kan bekräfta det genom att göra samma test med a = 3.

Lösning B

191 är mycket stor för att prova satsen och en gemensam kalkylator, men vi kan ta upp divisionen mellan varje primtal. Vi utelämnar att dela med 2 eftersom 191 inte ens är och divisionen kommer inte att vara exakt eller förhållandet mindre än 2.

Vi försökte dela med 3:

191/3 = 63,666 ..

Och det ger inte exakt, och inte heller kvoten är mindre än divisorn (63 666 ... är större än 3)

Vi fortsätter att testa 191 av kusinerna 5, 7, 11, 13 och den exakta uppdelningen nås inte, och inte heller förhållandet mindre än delaren. Tills den delar mellan 17:

191/17 = 11, 2352 ..

Eftersom det inte är exakt och 11 2352 ... är det mindre än 17, numret 191 är kusin.

Referenser

1. Baldor, a. 1986. Aritmetisk. Codex -utgåvor och distributioner.
2. Prieto, c. Primo -nummer. Hämtad från: sidor.Matem.Unk.mx.
3. PRIME -NUMMER. Återhämtat sig från: mae.Ufl.Edu.
4. Smart. Primo Numbers: Hur man hittar dem med siktet från Eratostenes. Återhämtat sig från: smartick.är.
5. Wikipedia. primtal. Återhämtad från: är.Wikipedia.org.