Vad är triangulära nummer? Fastigheter och demonstrationer

Det är känt som triangulärt siffror till sekvensen av siffror som erhålls genom att göra ett arrangemang eller figur av punkter av liksidig triangel. Den första av sekvensen är: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ..

Den första triangulära frågan är 1, den andra är 3, eftersom den erhålls från att lägga till en tvåpunktsrad till den föregående, för att bilda en liksidig triangel av tre element.

Figur 1. Sekvens av de första sex triangulära siffrorna. Källa: Wikimedia Commons. Melchoir/CC BY-SA (https: // Creativecommons.Org/licenser/BY-SA/3.0)

Den tredje är 6, som visas när du lägger till en tre -punkts rad till föregående arrangemang, så att en triangel med tre punktar bildas per sida. 10 i sekvensen erhålls genom att lägga till ytterligare en rad i föregående arrangemang så att en fyra -punkts triangel bildas per sida.

Formeln som låter dig hitta elementet n Från den triangulära sekvensen är känd det främre triangulära antalet:

T_n = T_N-1 + n

Listan över de första sex triangulära siffrorna uppnås så här:

-Först: 1

-Andra: 1 + 2 = 3

-Tredje: (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6

-Rum: (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10

-Femte: (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15

-Sjätte: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21

[TOC]

Egenskaper för triangulära siffror

1.- N-SIMO TN triangulärt antal av den triangulära siffrorna är hälften av N multiplicerad med n+1:

T_n = ½ n (n+1)

2.- Summan av det triangulära numret n-Ésimo med det främre triangulära antalet, det vill säga (n-1) -Sheimo, det är fyrkantigt höjt:

T_n + T_N-1= n²

3.- Skillnaden i det triangulära numret n-detta mindre den triangulära n-Ésimo mindre är n:

T_n - T_N-1 = n

4.- Summan av de första triangulära siffrorna kallas tetrahedralen SN och är lika med den sjätte delen av produkten multiplicerad med (n + 1) och multipliceras med (n + 2):

Kan tjäna dig: beskattning

S_n= ⅙ n (n + 1) (n + 2)

5.- Varje naturligt antal n är resultatet av summan av tre triangulära siffror:

N = Δ1 + Δ1 + Δ3

Denna sista egenskap eller sats upptäcktes av den stora matematikern Carl Friedrich Gauss 1796, som han gjorde i sin dagbok genom att placera den grekiska beundran Eureka! vad betyder det "Jag har uppnått det".

Det var samma ord som användes mycket tidigare av de grekiska Archimedes när han bestämde den uppenbara vikten av en nedsänkt kropp.

I detta förhållande tas nollantalet som triangulärt och det kan vara upprepning.

Demonstrationer

- Demonstration 1

Bevisa att det triangulära antalet n-Detta är:

T_n = ½ n (n+1)

Det är lätt att härleda den tidigare formeln, om vi inser att vi kan lägga till samma antal punkter till det triangulära arrangemanget för att bilda en fyrkantig punkter.

Eftersom det totala antalet arrangemangspunkter i form av en fyrkant är antalet rader n multiplicerat med antalet kolumner (N+1), Då kommer det triangulära arrangemanget att ha bara hälften av punkterna i arrangemanget i form av en fyrkantig.

Här illustreras i figur 2.

figur 2. Fyrkantig arrangemang där det totala antalet punkter är antalet rader n multiplicerat med antal kolumner n+1. Det totala antalet poäng är också dubbelt så mycket som det triangulära arrangemanget. Källa: Wikimedia Commons.

- Demonstration 2

Visa att summan av n-Detta triangulära nummer med n-Ju mindre ett triangulärt nummer är n kvadrat:

T_n + T_N-1= n²

Det har redan visats att det triangulära antalet n-Detta ges av:

T_n= ½ n (n+1)

Därför är det främre triangulära antalet:

T_N-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n-1)

Summan av båda kvarstår:

T_n + T_N-1 = ½ n (n + 1) + ½ n (n - 1)

½ n tas för att få:

T_n + T_N-1 = ½ n [(n + 1) + (n - 1) = ½ n [n + 1 + n - 1]

Och omedelbart förenklas uttrycket inuti konsolen:

Det kan tjäna dig: uppskattning med intervall

T_n + T_N-1 = ½ n [2 n] = ½ 2 n ⋅ n

Nu kommer du ihåg att ½ för 2 är 1 och att n för n är n kvadrat, har du:

T_n + T_N-1 = n²

Den här egenskapen kan också demonstreras geometricly, triangeln är helt enkelt slutförd för att bilda en fyrkant, som visas i figur 3.

Figur 3. Summan av N-Ésimo triangulärt antal med det främre triangulära antalet är lika med N Square. Källa: Wikimedia Commons.

- Demonstration 3

Skillnaden i det triangulära antalet ordning n minus det triangulära antalet beställning N-1 är n:

T_n - T_N-1 = n

Detta kan testas helt enkelt genom att komma ihåg att följande triangulära antal erhålls från det föregående genom formeln:

T_n = T_N-1 + n

Och därifrån är det uppenbart att T_n - T_N-1 = n. Det är också lätt att visualisera det grafiskt, som visas i figur 4.

Figur 4. Skillnaden mellan det triangulära antalet ordning n mindre den främre triangulära ordningen n-1 är n. Källa: Wikimedia Commons.

- Demonstration 5

Summan av de första triangulära n -numren sn Det är lika med den sjätte delen av produkten multiplicerad med (n + 1) och multipliceras med (n + 2):

S_n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)

Låt oss använda det triangulära antalet ordning n: T_n= ½ n (n+1). Summan av den första n Triangulära siffror kommer att beteckna det för S_n  

Till exempel, S₁ betyder summan av den första triangulära frågan, som utan tvekan kommer att vara 1.

Låt oss se om den formel vi försöker försöka uppfyllas n = 1:

S₁ = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1

Faktum är att formeln för n = 1 kontrolleras. Det är lätt att visualisera att summan av n+1 första triangulära siffror kommer att vara summan av den första n mer nästa triangulära nummer:

S_N+1 = S_n + T_N+1

Anta nu formeln för S_n Det är uppfyllt för N, sedan ersätter vi det i det föregående uttrycket och lägger till det triangulära antalet ordning N+1:

S_N+1 = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]]

Kan tjäna dig: vinkelrätt linje: egenskaper, exempel, övningar

Låt oss titta steg för steg vad som erhålls:

-Vi genomför summan av de två fraktionella uttryck:

S_N+1 = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] /12 

-Den tas bort från telleren som är gemensam till 2 (n + 1) (n + 2) och förenklar:

S_N+1 = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6

Det föregående resultatet överensstämmer med S -formelnn Om N+1 ersätts, vilket har visats genom induktion formeln för summan av de första triangulära termerna.

Tetraedralt nummer

Det erhållna resultatet kallas Tetraedralt antal ordning n, Eftersom det är som att samla triangulära lager som bildar en tetrahedron, som visas i följande animation.

Figur 5. Summan av N triangulära nummer motsvarar stacken med lager av N, N-1, ..., 1 trianglar som bildar en vanlig tetrahedron. Källa: Wikimedia Commons.

Referenser

1. Camacho J. Ett otänkta utseende av triangulära siffror. Återhämtat sig från: mascience.com
2. Claudio. Triangulärt siffror. Återhämtat sig från: helt enkelt siffror. Bloggfläck. com
3. Wikipedia. Triangulär nummer. Återhämtad från: är.Wikipedia.com
4. Wikipedia. Triangulär nummer. Hämtad från: i.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Antal tretraedrala. Hämtad från: i.Wikipedia.com